Những điều cần biết về định lý bất đẳng thức tam giác

Định lý bất đẳng thức tam giác (hay thường hay gọi là quyết định lý tam giác) hùn tất cả chúng ta hiểu và minh chứng một quy luật cần thiết nhập hình học tập tam giác. Theo quyết định lý này, tổng chừng lâu năm nhì cạnh ngẫu nhiên của một tam giác luôn luôn to hơn chừng lâu năm cạnh sót lại. Đây là phép tắc cơ bạn dạng và cần thiết nhằm xác lập đặc điểm của tam giác.
Để minh chứng quyết định lý bất đẳng thức tam giác, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể người sử dụng cách thức đối chứng: fake sử cạnh sót lại có tính lâu năm to hơn tổng chừng lâu năm nhì cạnh không giống. Khi tê liệt, tớ tiếp tục nỗ lực minh chứng sự xích míc của giả thiết này. Tuy nhiên, sau quy trình suy đoán, tất cả chúng ta tiếp tục nhìn thấy rằng giả thiết thuở đầu là sai và quyết định lý bất đẳng thức tam giác là đúng đắn.
Định lý bất đẳng thức tam giác cũng hoàn toàn có thể được vận dụng trong những công việc xác lập đặc điểm của tam giác, ví như xác lập được một cạnh có tính lâu năm lớn số 1 hoặc tam giác hoàn toàn có thể tạo hình được hay là không. Hình như, quyết định lý tam giác cũng hỗ trợ địa thế căn cứ mang đến việc minh chứng những quyết định lý không giống nhập hình học tập tam giác.
Tóm lại, quyết định lý bất đẳng thức tam giác là 1 trong những quy tắc cần thiết nhập hình học tập tam giác, xác lập rằng tổng chừng lâu năm nhì cạnh ngẫu nhiên của tam giác luôn luôn to hơn chừng lâu năm cạnh sót lại.

Bạn đang xem: Những điều cần biết về định lý bất đẳng thức tam giác

Định lý bất đẳng thức tam giác là 1 trong những quy tắc số 1 nhập hình học tập tam giác, nó cho biết thêm rằng nhập một tam giác, tổng chừng lâu năm nhì cạnh ngẫu nhiên luôn luôn to hơn chừng lâu năm cạnh sót lại.
Chúng tớ hoàn toàn có thể biểu diễn giải quyết định lý này bằng phương pháp bố trí những cạnh của tam giác theo đòi trật tự tăng dần dần. Gọi a, b, c theo thứ tự là chừng lâu năm thân phụ cạnh của tam giác với a là cạnh lâu năm nhất. Định lý bất đẳng thức tam giác tiếp tục rằng rằng:
a ≥ b + c
Điều này Tức là cạnh lâu năm nhất (a) của tam giác nên to hơn tổng chừng lâu năm nhì cạnh sót lại (b và c). Nếu ko vừa lòng ĐK này, tam giác sẽ không còn tồn bên trên.
Ví dụ:
Giả sử tớ sở hữu tam giác ABC với chừng lâu năm cạnh AB là 5 centimet, cạnh BC là 3 centimet và cạnh AC là 4 centimet. Ta tiếp tục đánh giá coi tam giác này còn có tồn bên trên hay là không dựa vào quyết định lý bất đẳng thức tam giác.
Theo quyết định lý, tớ cần thiết bố trí những cạnh theo đòi trật tự tăng dần: 3 ≤ 4 + 5
Có thể thấy rằng chừng lâu năm cạnh BC là 3 centimet nhỏ rộng lớn tổng chừng lâu năm nhì cạnh AB và AC là 4 centimet + 5 centimet = 9 centimet. Do tê liệt, tam giác ABC ko tồn bên trên.
Định lý bất đẳng thức tam giác cũng hoàn toàn có thể được dùng nhằm giải những việc tương quan cho tới tam giác, như đo lường chừng lâu năm một cạnh chưa chắc chắn lúc biết chừng lâu năm nhì cạnh sót lại.

Định lý bất đẳng thức tam giác và được minh chứng bởi vì nhiều ngôi nhà toán học tập không giống nhau. Một trong mỗi minh chứng thịnh hành được dùng là minh chứng bởi vì cách thức đáp án hình học tập. Dưới đấy là một cách thức minh chứng quyết định lý bất đẳng thức tam giác:
Giả sử ABC là 1 trong những tam giác với những cạnh là a, b và c, nhập tê liệt a là cạnh nhanh nhất và c là cạnh lâu năm nhất. Ta cần thiết minh chứng rằng a + b > c.
Bước 1: Vẽ tam giác ABC bên trên một tờ giấy má hoặc một mặt phẳng phẳng lặng.
Bước 2: Gắn cạnh a lên một dụng cụ rút đường thẳng liền mạch (như một rèn hoặc chiếu sáng) và cố định và thắt chặt một điểm ở đầu cạnh a.
Bước 3: Gắn cạnh b lên một phía phẳng lặng không giống, dịch chuyển mặt mày phẳng lặng này sao mang đến cạnh b trải qua đỉnh A và trải qua điểm nhưng mà cạnh a và được gắn nhập.
Bước 4: Theo quyết định lý chắn của góc, khi đường thẳng liền mạch AB và cạnh a hạn chế nhau, sẽ có được một góc thân ái bọn chúng. Gọi góc này là α.
Bước 5: Gắn cạnh c lên một phía phẳng lặng không giống, dịch chuyển mặt mày phẳng lặng này sao mang đến cạnh c trải qua đỉnh A và trải qua điểm nhưng mà cạnh a và được gắn nhập.
Bước 6: Theo quyết định lý chắn của góc, khi đường thẳng liền mạch AC và cạnh a hạn chế nhau, sẽ có được một góc thân ái bọn chúng. Gọi góc này là β.
Bước 7: Gắn điểm D bên trên đoạn trực tiếp BC sao mang đến AD là 1 trong những đoạn trực tiếp. Lúc tê liệt, tớ sở hữu cạnh BC có tính lâu năm bởi vì a + b.
Bước 8: Để minh chứng a + b > c, tớ cần thiết minh chứng rằng α + β 180°. Như vậy hoàn toàn có thể phần mềm quyết định lý về tổng góc nhập tam giác.
Bước 9: Nếu α + β ≥ 180°, tức là tổng nhì góc α và β bởi vì hoặc vượt lên trên vượt 180°, tớ sẽ có được tình huống trái ngược với quyết định lý tổng góc nhập tam giác. Do tê liệt, tớ Tóm lại α + β 180°.
Vì vậy, tất cả chúng ta tiếp tục minh chứng được quyết định lý bất đẳng thức tam giác, và tất cả chúng ta sở hữu a + b > c.
Lưu ý rằng trên đây chỉ là 1 trong những cách thức minh chứng quyết định lý bất đẳng thức tam giác và có tương đối nhiều cách thức không giống nhau không giống nhằm minh chứng.

Định lý bất đẳng thức tam giác xác minh rằng tổng chừng lâu năm nhì cạnh ngẫu nhiên của một tam giác luôn luôn to hơn chừng lâu năm cạnh sót lại. gí dụng quyết định lý này trong những công việc hình học tập, tớ hoàn toàn có thể xử lý một vài bài xích luyện như sau:
Ví dụ: Cho tam giác ABC sở hữu thân phụ cạnh AB, AC và BC có tính lâu năm theo thứ tự là 5 centimet, 7 centimet và 9 centimet. Hãy xác lập tam giác ABC sở hữu hợp thức hoặc không?
Giả sử tam giác ABC ko hợp thức, tức là 1 trong những trong những chừng lâu năm cạnh ko vừa lòng bất đẳng thức tam giác. Để đánh giá điều này, tớ tiếp tục kiểm tra toàn bộ những cặp cạnh và đánh giá coi tổng chừng lâu năm nhì cạnh tê liệt sở hữu to hơn cạnh sót lại hay là không.
- Xét cặp cạnh AB và AC: 5 + 7 = 12 > 9. Như vậy vừa lòng bất đẳng thức tam giác.
Vì tam giác ABC vừa lòng bất đẳng thức tam giác so với toàn bộ những cặp cạnh, nên tam giác này là hợp thức.
Nếu trong những công việc sở hữu cho những cạnh của tam giác và đòi hỏi đánh giá tính hợp thức, tớ chỉ việc tương tự động đánh giá ĐK bất đẳng thức tam giác. Nếu tổng chừng lâu năm nhì cạnh ngẫu nhiên to hơn chừng lâu năm cạnh sót lại, tớ Tóm lại tam giác là hợp thức. trái lại, tam giác ko hợp thức.

Định lý bất đẳng thức tam giác có tương đối nhiều biến đổi thể không giống nhau tùy nằm trong nhập vấn đề rõ ràng nhưng mà những biến đổi thể này sẽ tiến hành vận dụng. Tuy nhiên, một trong mỗi biến đổi thể cần thiết nhất và thịnh hành nhất của quyết định lý bất đẳng thức tam giác là: \"Trong một tam giác, tổng chừng lâu năm nhì cạnh ngẫu nhiên luôn luôn to hơn chừng lâu năm cạnh còn lại\".
Định lý này hoàn toàn có thể được suy diễn như sau: Nếu tớ sở hữu một tam giác với thân phụ cạnh là a, b và c, khi tê liệt tớ sở hữu nhì bất đẳng thức sau:
a+b > c
a+c > b
b+c > a
Đây là những ĐK cần thiết nhằm thi công một tam giác hợp thức. Nếu một trong những thân phụ bất đẳng thức bên trên ko được vừa lòng, tức là ko thể tạo ra trở thành một tam giác kể từ những chừng lâu năm cạnh ứng tê liệt.

Tam giác vuông là tam giác sở hữu một góc vuông, tức là 1 trong những góc bởi vì 90 chừng. Tam giác vuông thông thường được ký hiệu bởi vì ABC, với cạnh huyền ứng với góc vuông là cạnh c (đôi khi cũng rất được ký hiệu là h). Các cạnh sót lại được gọi là cạnh góc nhọn và được ký hiệu là a và b.
Để vận dụng quyết định lý bất đẳng thức tam giác nhập tình huống này, tớ nên biết rằng tổng chừng lâu năm nhì cạnh ngẫu nhiên của tam giác luôn luôn to hơn chừng lâu năm cạnh sót lại. Vì tam giác vuông sở hữu một góc vuông, nên chừng lâu năm cạnh huyền (c) là cạnh lớn số 1 nhập tam giác.
Áp dụng quyết định lý bất đẳng thức tam giác nhập tam giác vuông ABC, tớ có:
- Tổng chừng lâu năm nhì cạnh góc nhọn (a và b) nên to hơn chừng lâu năm cạnh huyền (c).
- Tổng chừng lâu năm nhì cạnh góc nhọn nên to hơn chừng lâu năm cạnh huyền.
- a + b > c.
Ví dụ, nhập một tam giác vuông ABC sở hữu cạnh huyền AC và nhì cạnh góc nhọn AB và BC, tớ sở hữu Điểm sáng sau:
- AC là cạnh lớn số 1 nhập tam giác.
- a và b là nhì cạnh góc nhọn.
- a + b > c.
Qua tê liệt, tớ hoàn toàn có thể vận dụng quyết định lý bất đẳng thức tam giác nhằm đánh giá tính hợp thức của tam giác vuông trong những công việc đối chiếu chừng lâu năm những cạnh.

Các bất đẳng thức tam giác không giống nhưng mà ko nằm trong quyết định lý bất đẳng thức tam giác bao gồm:
1. Bất đẳng thức tam giác đối nghịch: Đối với tam giác ABC, tớ sở hữu những bất đẳng thức sau:
a) AC + BC > AB (Đối với tam giác tù)
b) AB + AC > BC (Đối với tam giác nhọn)
c) AB + BC > AC (Đối với tam giác tù)
2. Bất đẳng thức tam giác Schwartz: Đối với tam giác ABC, tớ có:
a) AB² + BC² ≥ AC² (Đối với tam giác nhọn)
b) AC² + BC² ≥ AB² (Đối với tam giác nhọn)
c) AC² + AB² ≥ BC² (Đối với tam giác tù)
3. Bất đẳng thức tam giác Ptolemy: Đối với tứ giác ABCD nội tiếp đàng tròn trĩnh, tớ có:
AC · BD ≤ AB · CD + BC · AD
Đây là những bất đẳng thức tam giác không giống nhưng mà ko sẽ là quyết định lý bất đẳng thức tam giác.

Để minh chứng quyết định lý bất đẳng thức tam giác, tớ cần dùng một vài ba bước lý thuyết và công thức cơ bạn dạng. Dưới đấy là công việc nhằm triệu chứng minh:
Bước 1: Cho tam giác ABC với thân phụ cạnh a, b, và c.
Bước 2: Theo một vài công thức cơ bạn dạng, tớ hoàn toàn có thể tính được diện tích S của tam giác ABC. Sử dụng công thức diện tích S tam giác: Diện tích = một nửa * cạnh * đàng cao ứng, tớ có:
- Diện tích tam giác ABC = một nửa * a * đàng cao ứng theo đòi cạnh a
- Diện tích tam giác ABC = một nửa * b * đàng cao ứng theo đòi cạnh b
- Diện tích tam giác ABC = một nửa * c * đàng cao ứng theo đòi cạnh c
Lưu ý rằng đàng cao ứng theo đòi cạnh là đàng kẻ vuông góc kể từ đỉnh của cạnh tê liệt xuống cho tới đối lập với cạnh tê liệt.
Bước 3: Viết những bất đẳng thức dựa vào diện tích S tam giác tiếp tục tính được:
- a * đàng cao ứng theo đòi cạnh a ≤ 2 * diện tích S tam giác ABC
- b * đàng cao ứng theo đòi cạnh b ≤ 2 * diện tích S tam giác ABC
- c * đàng cao ứng theo đòi cạnh c ≤ 2 * diện tích S tam giác ABC
Bước 4: Sử dụng công thức hình tam giác Heron nhằm tính diện tích S tam giác ABC:
- Diện tích tam giác ABC = √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
với p là nửa chu vi tam giác ABC (p = (a + b + c) / 2)
Bước 5: Thay độ quý hiếm diện tích S kể từ công thức Heron nhập những bất đẳng thức ở bước 3:
- a * đàng cao ứng theo đòi cạnh a ≤ 2 * √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
- b * đàng cao ứng theo đòi cạnh b ≤ 2 * √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
- c * đàng cao ứng theo đòi cạnh c ≤ 2 * √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
Bước 6: Chuẩn hóa đàng cao ứng theo đòi cạnh, dùng công thức đàng cao ứng theo đòi cạnh nhập tam giác:
- Đường cao ứng theo đòi cạnh a = 2 * diện tích S tam giác ABC / a
- Đường cao ứng theo đòi cạnh b = 2 * diện tích S tam giác ABC / b
- Đường cao ứng theo đòi cạnh c = 2 * diện tích S tam giác ABC / c
Bước 7: Thay độ quý hiếm đàng cao kể từ công thức chuẩn chỉnh hóa nhập những bất đẳng thức ở bước 5:
- a * (2 * diện tích S tam giác ABC / a) ≤ 2 * √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
- b * (2 * diện tích S tam giác ABC / b) ≤ 2 * √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
- c * (2 * diện tích S tam giác ABC / c) ≤ 2 * √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
Bước 8: Rút gọn gàng những biểu thức:
- 2 * diện tích S tam giác ABC ≤ 2 * √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
- diện tích S tam giác ABC ≤ √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]

Bước 9: Dùng công thức Heron để thay thế độ quý hiếm diện tích S vào:
- √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)] ≤ √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]
Bước 10: Bất đẳng thức đích với từng độ quý hiếm a, b, c là những cạnh của tam giác ABC, vì thế quyết định lý bất đẳng thức tam giác được minh chứng.

Để vận dụng quyết định lý bất đẳng thức tam giác nhập đo lường mang đến tam giác sở hữu góc nhọn, tớ cần thiết tuân theo công việc sau:
Bước 1: Xác quyết định những cạnh của tam giác. Gọi thân phụ cạnh của tam giác theo thứ tự là a, b, và c.
Bước 2: Kiểm tra coi thân phụ cạnh tiếp tục mang đến sở hữu vừa lòng ĐK tổng chừng lâu năm nhì cạnh ngẫu nhiên luôn luôn to hơn chừng lâu năm cạnh loại thân phụ ko. Tức là a + b > c, a + c > b, và b + c > a. Nếu những ĐK này sẽ không được vừa lòng, thì tam giác được mang đến ko hợp thức và ko thể vận dụng bất đẳng thức tam giác.
Bước 3: Nếu tam giác hợp thức, tớ hoàn toàn có thể vận dụng quyết định lý bất đẳng thức tam giác nhằm đo lường. Ví dụ, nhằm đo lường diện tích S tam giác, tớ hoàn toàn có thể dùng công thức diện tích S Heron, được xác lập bởi:
Diện tích = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
trong tê liệt p là nửa chu vi của tam giác, được xem bằng phương pháp p = (a + b + c) / 2.
Bước 4: Tính toán những độ quý hiếm quan trọng dựa vào công thức tiếp tục lựa chọn và những cạnh của tam giác.
Ví dụ: Giả sử tớ sở hữu một tam giác với những cạnh a = 5, b = 7, và c = 9. Ta hoàn toàn có thể đánh giá coi thân phụ cạnh này còn có vừa lòng ĐK bất đẳng thức tam giác hoặc không: 5 + 7 > 9, 5 + 9 > 7, và 7 + 9 > 5. Vì những ĐK này được vừa lòng, tam giác là hợp thức.
Tiếp theo đòi, tớ đo lường nửa chu vi của tam giác: p = (5 + 7 + 9) / 2 = 10. Ta hoàn toàn có thể tính diện tích S tam giác dùng công thức diện tích S Heron:
Diện tích = √(10 * (10 - 5) * (10 - 7) * (10 - 9)) = √(10 * 5 * 3 * 1) = √(150) = 12.25.
Vì vậy, diện tích S của tam giác được nghĩ rằng khoảng tầm 12.25 đơn vị chức năng diện tích S (tùy nằm trong nhập đơn vị chức năng tiếp tục dùng cho những cạnh).

Xem thêm: 15 Free messy bun hat crochet Patterns with tutorial

Trong quyết định lý bất đẳng thức tam giác, sở hữu thân phụ tình huống quan trọng rất cần được nói đến.
1. Trường hợp ý đều bằng nhau (tam giác bình đẳng): Khi thân phụ cạnh của tam giác đều đều bằng nhau, tức là a = b = c, tớ sở hữu bất đẳng thức tam giác trả trở thành a + b > c. Trong tình huống này, tam giác đồng đẳng là tam giác đều.
2. Trường hợp ý sở hữu một cạnh bởi vì 0: Nếu một cạnh của tam giác bởi vì 0, tức là a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0, thì tam giác ko tồn bên trên. Do tê liệt, bất đẳng thức tam giác ko vận dụng nhập tình huống này.
3. Trường hợp ý sở hữu một cạnh to hơn tổng nhì cạnh còn lại: Nếu một cạnh của tam giác to hơn tổng nhì cạnh sót lại, tức là a > b + c hoặc b > a + c hoặc c > a + b, thì tam giác ko tồn bên trên vì như thế ko thể ghép được những cạnh trở thành một tam giác. Trong tình huống này, bất đẳng thức tam giác ko vận dụng.