Công thức tính thể tích khối tròn xoay đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

Công thức tính thể tích khối tròn trặn xoay rất đầy đủ, cụ thể nhất - Toán lớp 12

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích khối tròn xoay đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

1. Lý thuyết

* Quay xung quanh trục Ox:

Hình số lượng giới hạn vị đàng cong hắn = f(x), trục Ox và hai tuyến đường trực tiếp x = a, x = b (trong cơ f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b]) xoay quanh trục Ox, tao được khối tròn trặn xoay.

Thể tích của khối tròn trặn xoay được xem bám theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{2}dx$

Hình số lượng giới hạn vị hai tuyến đường cong hắn = f(x), hắn = g(x) và hai tuyến đường trực tiếp x = a, x = b (trong cơ f(x), g(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b]) xoay quanh trục Ox.

Thể tích của khối tròn trặn xoay được xem bám theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx$

* Quay xung quanh trục Oy:

Hình số lượng giới hạn vị đàng cong x = f(y), trục Oy và hai tuyến đường trực tiếp hắn = c; hắn = d (trong cơ f(x) liên tiếp bên trên đoạn [c; d]) xoay quanh trục Oy, tao được khối tròn trặn xoay.

Thể tích của khối tròn trặn xoay được xem bám theo công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f\left(y\right)\right]}^{2}dy$

Xem thêm: Phân biệt hình chóp tam giác đều và hình tứ diện đều

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tròn trặn xoay được tạo nên trở nên Lúc mang đến hình bằng phẳng số lượng giới hạn vị những đàng hắn = sin x, trục hoành, hai tuyến đường trực tiếp $x=0;x=\frac{\pi }{4}$ quay xung quanh trục hoành?

Lời giải

Hình bằng phẳng số lượng giới hạn vị những đàng $y=\sin x;y=0;x=0;x=\frac{\pi }{4}$ quay xung quanh trục Ox nên rất có thể tích:

Ví dụ 2: Cho hình bằng phẳng H số lượng giới hạn vị những đường: $y=x;y=\sqrt{x}$. Tính thể tích khối tròn trặn xoay được tạo nên trở nên Lúc cù H xung quanh trục hoành?

Lời giải

Phương trình hoành chừng kí thác điểm của nhị đường:

$x=\sqrt{x}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}\right.$

Xem thêm: An Toàn Giao Thông - Hoàng Nghiệp - NhacCuaTui

Thể tích khối tròn trặn xoay được tạo nên vị hai tuyến đường $y=x;y=\sqrt{x}$ là:

$$\begin{gathered} V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2\right|dx \\ =\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-x\right|dx \\ =\pi {\left.\left|\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right|\right|}_0^1 \\ =\pi \left|\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right|=\frac{\pi }{6} \end{gathered}$$