KHỞI ĐỘNG
Làm thế này nhằm tính chừng nhiều năm cạnh không biết của nhị tam giác bên dưới đây?
Bạn đang xem: Giải bài 2 Định lí côsin và định lí sin Giải toán 10 tập 1 chân trời sáng tạo
Hướng dẫn giải:
- Hình 1 dùng tấp tểnh lí Pytago: $BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $3^{2}$ + $4^{2}$ $\Rightarrow$ BC = 5
- Hình 2 dùng tấp tểnh lí côsin nhập tam giác: $NP^{2}$ = $MN^{2}$ + $MP^{2}$ - 2MN. MP. cosM = $4^{2}$ + $3^{2}$ - 2. 4. 3. cos$60^{\circ}$ $\Rightarrow$ NP = $\sqrt{13}$
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC
Khám đập phá 1:
a. Cho tam giác ABC ko nên là tam giác vuông với góc A nhọn và $\widehat{C} \geq \widehat{B}$. Vẽ đàng cao CD và mệnh danh những chừng nhiều năm như nhập Hình 1.
Hãy thay cho ? bởi vần âm tương thích nhằm chứng tỏ công thức $a^{2} = b^{2} + c^{c} - 2bccosA$ theo đuổi khêu gợi ý sau:
- Xét tam giác vuông BCD, tao sở hữu $a^{2} = d^{2} + (c - d)^{2} = d^{2} + x^{2} + c^{2} - 2xc$. (1)
- Xét tam giác vuông ACD, tao sở hữu $b^{2} = d^{2} + x^{2} \Rightarrow d^{2} = b^{2} - x^{2}$. (2)
- cosA = $\frac{?}{b}$ $\Rightarrow$ ? = bcosA. (3)
Thay (2) và (3) nhập (1), tao có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$.
Lưu ý: Nếu $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$ thì tao vẽ đàng cao BD và chứng tỏ tương tự động.
b. Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự động như bên trên, chứng tỏ rằng tao cũng có:
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$.
Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA = $-\frac{x}{b}$.
c. Cho tam giác ABC vuông bên trên A. Hãy minh chứng công thức $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$ rất có thể ghi chép là $a^{2} = b^{2} + c^{2}$.
Hướng dẫn giải:
a. cosA = $\frac{x}{b}$ $\Rightarrow$ x = bcosA.
b. Xét tam giác CDB vuông bên trên D, tao có: $a^{2} = d^{2} + (c + x)^{2}$ (4)
Xét tam giác CDA vuông bên trên D, tao có: $b^{2} = d^{2} + x^{2} \Rightarrow d^{2} = b^{2} - x^{2}$ (5)
cos$\widehat{BAC}$ = -cos$\widehat{CAD}$ = $-\frac{x}{b}$ $\Rightarrow$ x = -bcosA (6)
Thay (5), (6) nhập (4), tao có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$.
c. Tam giác ABC vuông bên trên A $\Rightarrow$ $\widehat{A}$ = $90^{\circ}$
Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$ $\Leftrightarrow$ $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccos90^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$
Thực hành 1: Tính những cạnh và những góc không biết của tam giác ABC nhập Hình 4.
Hướng dẫn giải:
Theo tấp tểnh lí côsin, tao có:
$BC^{2} = AB^{2} + AC{2} - 2AB. AC. cosA$ = $14^2 + 18^{2} - 2. 14. 18. cos62^{\circ}$ $\approx$ 283,39
Vậy BC $\approx$ $\sqrt{283,39} \approx$ 16,83
Vận dụng 1: Tính khoảng cách thân ái nhị điểm ở nhị đầu của một hồ nước nước. tường từ là 1 điểm cơ hội nhị đầu hồ nước theo lần lượt là 800 m và 900 m người xem nhìn nhị điểm đó bên dưới một góc $70^{\circ}$ (Hình 5).
Hướng dẫn giải:
Gọi những đỉnh của tam giác như nhập hình vẽ:
Ta có: $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB. AC. cosA = 800^{2} + 900^{2} - 800. 900. cos70^{\circ}$ = 1203745,497
$\Rightarrow$ BC $\approx$ 1097,15 (m)
Vậy khoảng cách thân ái nhị điểm là 1097,15m.
2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC
Khám đập phá 2:
a. Cho tam giác ABC ko nên là tam giác vuông sở hữu BC = a, AC = b, AB = c và R là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác cơ. Vẽ 2 lần bán kính BD.
i. Tính sin$\widehat{BDC}$ theo đuổi a và R.
ii. Tìm ông tơ contact giưa $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$. Từ cơ chứng tỏ rằng 2R = $\frac{a}{sinA}$
b. Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và đối chiếu a với 2R nhằm minh chứng tao vẫn đang còn công thức 2R = $\frac{a}{sinA}$
Hướng dẫn giải:
a.
i. Xét tam giác BDC vuông bên trên C tao có:
sin$\widehat{BDC}$ = $\frac{BC}{2R}$ = $\frac{a}{2R}$
ii. Với tam giác ABC sở hữu góc A nhọn, tao có: $\widehat{BAC}$ = $\widehat{BDC}$ (hai góc nội tiếp nằm trong chắn cung BC).
$\Rightarrow$ sin$\widehat{BAC}$ = sin$\widehat{BDC}$ = $\frac{BC}{2R}$ = $\frac{a}{2R}$ $\Rightarrow$ 2R = $\frac{a}{sinA}$ (đpcm)
Với tam giác ABC sở hữu góc A tù, tao sở hữu tứ giác ACDB nội tiếp đàng tròn xoe tâm O $\Leftrightarrow$ $\widehat{BAC}$ + $\widehat{BDC}$ = $180^{\circ}$
$\Rightarrow$ sin$\widehat{BAC}$ = sin$\widehat{BDC}$ = $\frac{BC}{2R}$ = $\frac{a}{2R}$ $\Rightarrow$ 2R = $\frac{a}{sinA}$ (đpcm)
b. Tam giác ABC vuông bên trên A nội tiếp đàng tròn xoe tâm O chào bán kính $\frac{BC}{2}$ $\Rightarrow$ 2R = a (1)
Ta có: sinA = sin$90^{\circ}$ = 1 (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ 2R = $\frac{a}{sinA}$
Thực hành 2: Tính những cạnh và những góc không biết của tam giác MNP nhập Hình 8.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\widehat{P}$ = $180^{\circ}$ - $34^{\circ}$ - $112^{\circ}$ = $34^{\circ}$ $\Rightarrow$ tam giác MNP cân nặng bên trên N $\Rightarrow$ MN = NP = 22
Áp dụng định lí sin, tao có: $\frac{NP}{sinM}$ = $\frac{MP}{sinN}$ = $\frac{MN}{sinP}$ = 2R
Suy ra:
Xem thêm: [LỜI GIẢI] Tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình 3^x^2 - 4x + 5 = 9 bằ - Tự Học 365
MP = $\frac{NP.sinN}{sinM}$ = $\frac{22.sin112^{\circ}}{sin34^{\circ}}$ $\approx$ 36,5
Vận dụng 2: Trong một khu vực bảo đảm, người tao xây đắp một tháp canh và nhị bể chứa chấp nước A, B nhằm chống hỏa thiến. Từ tháp canh, người tao vạc hiện nay vụ cháy và số liệu fake về như hình 9. Nên dẫn nước kể từ bể chứa chấp A hoặc B nhằm dập tắt vụ cháy thời gian nhanh hơn?
Hướng dẫn giải:
Gọi điểm tháp canh là C, điểm cháy là D (như hình vẽ).
Ta có: $\widehat{BDC}$ = $180^{\circ}$ - $35^{\circ}$ - $125^{\circ}$ = $20^{\circ}$
Áp dụng định lí sin cho tới tam giác CBD tao có:
$\frac{BD}{sin\widehat{BCD}}$ = $\frac{CB}{sin\widehat{BDC}}$ = $\frac{CD}{sin\widehat{CBD}}$ = 2R
Suy ra: BD = $\frac{CB.sin\widehat{BCD}}{sin\widehat{BDC}}$ = $\frac{900. sin35^{\circ}}{sin20^{\circ}}$ $\approx$ 1509,3 (m)
CD = $\frac{CB.sin\widehat{CBD}}{sin\widehat{BDC}}$ = $\frac{900. sin125^{\circ}}{sin20^{\circ}}$ $\approx$ 2155,5 (m)
Áp dụng tấp tểnh lí cosin nhập tam giác ACD, tao có:
$AD^{2} = CA^{2} + CD^{2} - 2AC. CD. cos\widehat{ACD}$ = $1800^2 + 2155,5^{2} - 2. 1800. 2155,5. cos34^{\circ}$ $\approx$ 1453014,5
$\Rightarrow$ AD $\approx$ 1205,4 (m)
Nhận thấy: AD < BD nên dẫn nước kể từ bể chứa chấp A tiếp tục dập tắt vụ cháy thời gian nhanh rộng lớn.
3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Khám đập phá 3: Cho tam giác như Hình 10.
a. Viết công thức tính diện tích S S của tam giác ABC theo đuổi a và $h_{a}$.
b. Tính $h_{a}$ theo đuổi b và sinC.
c. Dùng nhị thành phẩm bên trên nhằm chứng tỏ công thức S = $\frac{1}{2}$ab.sinC.
d. Dùng định lí sin và thành phẩm ở câu c) nhằm chứng tỏ công thức S = $\frac{abc}{4R}$
Hướng dẫn giải:
a. Xét tam giác ABC, đàng cao AH:
$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$. AH. BC = $\frac{1}{2}$. $h_{a}$.a (1)
b. Xét tam giác AHC vuông bên trên H, tao có:
sinC = $\frac{AH}{AC}$ = $\frac{h_{a}}{b}$ $\Rightarrow$ $h_{a}$ = b.sinC (2)
c. Thay (2) nhập (1) tao được: S = $\frac{1}{2}$absinC.
d. sát dụng định lí sin tao có: $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ = 2R
$\Rightarrow$ sinC = $\frac{c}{2R}$
$\Rightarrow$ S = $\frac{1}{2}$absinC = $\frac{1}{2}ab.\frac{c}{2R}$ $\Rightarrow$ S = $\frac{abc}{4R}$ (đpcm)
Khám đập phá 4: Cho tam giác ABC sở hữu BC = a, AC = b, AB = c và (1; r) là đàng tròn xoe nội tiếp tam giác (Hình 11).
a. Tính diện tích S những tam giác IBC, IAC, IAB theo đuổi r và a, b, c.
b. Dùng thành phẩm bên trên nhằm chứng tỏ công thức tính diện tích S tam giác ABC: S = $\frac{r(a+b+c)}{2}$
Hướng dẫn giải:
a. $S_{IBC}$ = $\frac{1}{2}$. r. a; $S_{IAC}$ = $\frac{1}{2}$. r. b; $S_{IAB}$ = $\frac{1}{2}$. r. c
b. $S_{ABC}$ = $S_{IBC}$ + $S_{IAC}$ + $S_{IAB}$ = $\frac{1}{2}$. r. a + $\frac{1}{2}$. r. b + $\frac{1}{2}$. r. c
$\Rightarrow$ S = $\frac{r(a+b+c)}{2}$ (đpcm)
Thực hành 3: Tính diện tích S tam giác ABC và nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC trong số tình huống sau:
a. Các cạnh b = 14, c = 35 và $\widehat{A}$ = $60^{\circ}$
b. Cách cạnh a = 4, b = 5, c = 3.
Hướng dẫn giải:
a. S = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$14. 35. sin$60^{\circ}$ = $\frac{245\sqrt{3}}{2}$
Áp dụng tấp tểnh lí cosin, tao có:
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bccosA$ = $14^{2} + 35^{2} - 2. 14. 35. cos60^{\circ}$ = 931
$\Rightarrow$ a = $7\sqrt{19}$
Áp dụng định lí sin, tao có: R = $\frac{a}{2.sinA}$ = $\frac{7\sqrt{19}}{2.sin60^{\circ}}$ = $\frac{7\sqrt{57}}{3}$
b. Ta có: p = $\frac{1}{2}$.(4 + 5 + 3) = 6
Áp dụng công thức Heron, tao có:
S = $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ = $\sqrt{6.(6 - 4).(6 - 5). (6 - 3)}$ = 6
Ta có: S = $\frac{abc}{4R}$ $\Rightarrow$ R = $\frac{abc}{4S}$ = $\frac{4.5.3}{4.6}$ = $\frac{5}{2}$
Vận dụng 3: Tính diện tích S một cánh buồm hình tam giác. tường cánh buồm cơ sở hữu chiều nhiều năm cạnh là 3,2m và nhị góc kề cạnh cơ sở hữu số đo là $48^{\circ}$ và $105^{\circ}$ (Hình 12)
Hướng dẫn giải:
Chọn những đỉnh A, B, C như hình.
Ta có: $\widehat{C}$ = $180^{\circ}$ - $48^{\circ}$ = $27^{\circ}$
Xem thêm: Tóm tắt bài Bố của Xi-mông ngắn nhất
Áp dụng định lí sin, tao có: $\frac{BC}{sinA}$ = $\frac{AB}{sinC}$ = $\frac{AC}{sinB}$ = 2R
$\Rightarrow$ BC = $\frac{AB. sinA}{sinC}$ = $\frac{3,2. sin48^{\circ}}{sin27^{\circ}}$ $\approx$ 5,2 (m)
S = $\frac{1}{2}$AB. BC. sinB $\approx$ $\frac{1}{2}$. 3,2. 5,2. sin$48^{\circ}$ $\approx$ 6,2 ($m^{2}$)