Công thức Nguyên hàm từng phần (2024) và cách giải các dạng bài tập

Công thức nguyên hàm từng phần vừa đủ, cụ thể nhất - Toán lớp 12

Bạn đang xem: Công thức Nguyên hàm từng phần (2024) và cách giải các dạng bài tập

I. Lý thuyết

Định lí: Nếu nhị hàm số u = u(x) và v = v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:

$\int u\left(x\right)v\text{'}\left(x\right)d\text{x}=u\left(x\right)v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right)v\left(x\right)d\text{x}$

Hay $\int u\text{d}v=uv-\int v\text{d}u$

II. Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng toan lý trên

Bước 1. Chọn u, v sao mang đến f(x)dx = udv (chú ý dv = v'(x)dx).

Sau cơ tính $v=\int \text{d}v$ và du = u'.dx.

Bước 2. Thay vô công thức và tính $v=\int v\text{du}$

Chú ý. Cần cần lựa lựa chọn u và dv hợp lý và phải chăng sao mang đến tao dễ dàng và đơn giản tìm kiếm được v và tích phân $\int v\text{d}u$ dễ dàng tính rộng lớn $\int u\text{d}v$. Ta thông thường bắt gặp những dạng sau

Dạng 1. $I=\int P\left(x\right)\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\text{d}x$, vô cơ P(x) là nhiều thức. Ta bịa đặt $\left\{\begin{array}{l}u=P\left(x\right)\\ \text{d}v=\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\text{d}x\end{array}\right.$.

Dạng 2. $I=\int P\left(x\right)e^{ax+b}\text{d}x$, vô cơ P(x) là nhiều thức. Ta bịa đặt $\left\{\begin{array}{l}u=P\left(x\right)\\ \text{d}v=e^{ax+b}\text{d}x\end{array}\right.$.

Dạng 3. $I=\int P\left(x\right)\ln \left(mx+n\right)\text{d}x$, vô cơ P(x) là nhiều thức. Ta bịa đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(mx+n\right)\\ \text{d}v=P\left(x\right)\text{d}x\end{array}\right.$.

Dạng 4. $I=\int \left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]e^x\text{d}x$. Ta bịa đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\left[\begin{array}{l}\sin x\\ \cos x\end{array}\right]\\ \text{d}v=e^x\text{d}x\end{array}\right.$.

Thứ tự động ưu tiên bịa đặt u: “Nhất log, nhì nhiều, tam lượng, tứ mũ” và dv phần còn lại. Nghĩa là nếu như sở hữu ln hoặc log_ax thì lựa chọn u=lnx hoặc $u={\log }_{a}x=\frac{1}{\ln a}.\ln x$ và dv = còn sót lại. Nếu không tồn tại ln; log thì lựa chọn u = nhiều thức và dv = còn sót lại. Nếu ko có log, nhiều thức, tao chọn u = lượng giác,….

Cách 2: Sử dụng bảng

Loại 1: Ví dụ: $\int x^3{e}^{x}dx$

Vậy :

$\int x^3{e}^{x}dx=x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6x{e}^x-6e^x+C$

Loại 2: Nguyên hàm lặp. Ví dụ: $\int \cos x{e}^{x}dx$

Xem thêm: Hãy phân tích bài thơ Vịnh khoa thi Hương của Tú Xương. | Văn mẫu 11

Vậy

$$\begin{gathered} \int \cos x{e}^{x}dx \\ =\cos x{e}^x-\left(-\sin x\right)e^x+\int -\cos x{e}^{x}dx \\ \Rightarrow \int \cos x{e}^{x}dx=\frac{1}{2}\left(\cos x+\sin x\right)e^x \end{gathered}$$

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính những vẹn toàn hàm

a) $I=\int x{e}^x\text{d}x$

b) $I=\int x\ln xdx$

Lời giải

a) $I=\int x{e}^x\text{d}x$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}\right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, tao có

$$\begin{gathered} I=\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx \\ =x{e}^x-e^x+C \end{gathered}$$

b) $I=\int x\ln xdx$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=xdx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{x^2}{2}\end{array}\right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, tao có:

$$\begin{gathered} I=\int x\ln xdx=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{2}\int xdx \\ =\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2+C \end{gathered}$$

Ví dụ 2: Tính những vẹn toàn hàm sau:

a) $I=\int x^2\cos xdx$

b) $I=\int \sin x.e^x\text{d}x$

Lời giải

Xem thêm: - Đất là lớp vật chất mỏng, vụn bở, bao phủ trên bề mặt các lục địa, được đặc trưng bởi độ phì. - Đất gồm có nhiều tầng khác nhau: + Trên cùng là tầng chứa