Cung và góc lượng giác: Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập về các dạng toán

Số lượt hiểu bài xích viết: 14.728

Cung và góc lượng giác là bài học kinh nghiệm cần thiết nhập công tác toán lớp 10 trung học phổ thông. Khi cầm được lý thuyết cũng tựa như những dạng toán về cung và góc lượng giác tiếp tục khiến cho bạn nhanh gọn lẹ giải được những dạng bài xích tập dượt về chuyên mục này. Với nội dung nội dung bài viết sau đây, DINHNGHIA.VN tiếp tục khiến cho bạn tổ hợp kỹ năng về chủ thể cung và góc lượng giác, nằm trong thám thính hiểu nhé!.

Bạn đang xem: Cung và góc lượng giác: Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập về các dạng toán

Một số định nghĩa về cung và góc lượng giác

Cung là gì?

Cho lối tròn xoe tâm O, nửa đường kính R, bên trên lối tròn xoe (O) tớ lấy nhì điểm phân biệt A và B.

Khi ê tớ trình bày : \(\stackrel\frown{AmB}\) được xem là cung nhỏ, \(\stackrel\frown{AnB}\) được xem là cung rộng lớn. Khi viết lách \(\stackrel\frown{AB}\) tớ cần thiết hiểu là cung nhỏ. AB là chão cung chắn \(\stackrel\frown{AB}\).

Các đặc thù của cung

 Với nhì cung nhỏ nhập một lối tròn xoe hoặc nhập hai tuyến đường tròn xoe đều nhau tớ luôn luôn sở hữu những đặc thù như sau: 

• Hai cung đều nhau tiếp tục căng nhì chão đều nhau.
• Hai chão đều nhau tiếp tục căng nhì cung đều nhau.
• Cung to hơn thì căng chão to hơn.
• Dây to hơn thì căng cung to hơn.

Lưu ý: Trong một lối tròn xoe, nếu như nhì cung bị khuất vì chưng nhì chão tuy vậy song thì đều nhau.

Góc là gì?

• Góc theo gót khái niệm là hình tạo nên vì chưng nhì tia cộng đồng gốc
• Gốc cộng đồng được xem là đỉnh của góc. Hai tia là nhì cạnh của góc.
• Đặc biệt: Ta sở hữu góc bẹt là góc sở hữu nhì cạnh là nhì tia đối nhau.
• Góc xOy được kí hiệu là \(\widehat{xOy}\) hoặc \(\widehat{yOx}\)

Lượng giác là gì?

Lượng giác là một nhánh toán học tập dùng làm thám thính hiểu về hình tam giác và sự tương tác đằm thắm cạnh của hình tam giác và khía cạnh của chính nó. Lượng giác đã cho thấy hàm con số giác.

Lý thuyết về cung và góc lượng giác

Góc lượng giác là gì?

Trên mặt mũi bằng, khi cù tia \(Ox\) xung quanh \(O\) cho tới tia \(Oy\) theo gót một chiều chắc chắn thì tớ sẽ có được một góc lượng giác, kí hiệu \(\left (Ox;Oy \right )\). Ta quy ước chiều ngược kim đồng hồ đeo tay là chiều dương.

Hai góc sở hữu nằm trong tia đầu và tia cuối thì sẽ có được những số đo không giống nhau một bội nguyên vẹn \(360^\circ\) (hay \(2\pi\)).

Cung lượng giác là gì?

Trên lối tròn xoe tâm O lấy nhì điểm A, B. Một điểm điều khiển xe trên lối tròn xoe theo gót một chiều chắc chắn kể từ A cho tới B vạch nên cung lượng giác, kí hiệu \(\stackrel\frown{AB}\). Điểm A là vấn đề đầu điểm B là vấn đề cuối. 

Đơn vị đo góc và cung tròn

Đơn vị độ

Số đo của một cung vì chưng \(\frac{1}{180}\) nửa lối tròn xoe là một trong phỏng.

Kí hiệu \(1^\circ\) hiểu là một trong độ

\(1^\circ={60}’;{1}’={60}”\)

Cho lối tròn xoe tâm O nửa đường kính R có tính nhiều năm \(2\pi R\) và sở hữu số đo \(360^\circ\).

Đơn vị Radian

Trên lối tròn xoe tùy ý, cung có tính nhiều năm vì chưng nửa đường kính được gọi là cung sở hữu số đo 1 radian, kí hiệu 1rad.

Đổi phỏng đi ra Radian

Gọi a là đơn vị chức năng phỏng cần thiết thay đổi và b là đơn vị chức năng Radian cần thiết đổi

• \(a^\circ=\frac{\pi}{180}rad\)
• \(b\hspace{0.3cm}rad= \left ( \frac{180}{\pi} \right )^\circ\)

Đường tròn xoe lượng giác

Trong mặt mũi bằng toạ phỏng \(Oxy\), tớ vẽ lối tròn xoe tâm O với nửa đường kính R, đôi khi lựa chọn sẵn điểm A thực hiện điểm gốc và lựa chọn chiều cù ngược hướng kim đồng hồ đeo tay là chiều dương. Đường tròn xoe như bên trên được gọi là lối tròn xoe lượng giác.

Điểm ngọn của một số trong những cung quánh biệt

Để màn biểu diễn một cung lượng giác lên lối tròn xoe lượng giác, tớ luôn luôn hãy chọn điểm gốc của cung ê bên trên \(A\), đôi khi tớ chỉ quan hoài tới điểm ngọn của cung ê ở đâu tuy nhiên thôi. Quy ước những điểm \(A’,B,B’\) được thể hiện nay như bên trên hình vẽ. 

Ta sở hữu bảng tại đây nhằm biểu thị côn trùng tương tác đằm thắm số đo một số trong những cung \(x\) quan trọng đặc biệt thông thường người sử dụng với địa điểm điểm ngọn của chính nó bên trên lối tròn xoe lượng giác:

(Quy ước: \(k\in\mathbb{Z}\))

Giá trị lượng giác của một cung

Cho số thực \(\alpha\). Trên lối tròn xoe lượng giác, gọi M là vấn đề ngọn của cung sở hữu số đo \(\alpha\). Giả sử tọa phỏng điểm M là M(x;y). Ta lăm le nghĩa: 

\(x=\cos{\alpha};\hspace{0.3cm}y=\sin{\alpha};\hspace{0.3cm}\frac{y}{x}=\tan{\alpha};\hspace{0.3cm}\frac{x}{y}=\cot{\alpha}\)

Ta sở hữu công thức: 

\(\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}};\hspace{0.3cm}\cot{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)

Ta sở hữu một số trong những công thức sau: 

• \(\sin{\alpha}=1\Leftrightarrow\alpha=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin{\alpha}=-1\Leftrightarrow\alpha=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=k\pi\)
• \(\cos{\alpha}=1\Leftrightarrow\alpha=k2\pi\)
• \(\cos{\alpha}=-1\Leftrightarrow\alpha=\pi+k2\pi\)
• \(\cos{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

Bảng độ quý hiếm lượng giác đẫy đủ

Dấu của những độ quý hiếm lượng giác

Giá trị lượng giác của những góc quánh biệt

Giá trị lượng giác của góc sở hữu tương quan quánh biệt

Công thức nghiệm cơ bản

Công thức lượng giác

Bài tập dượt về những dạng toán cung và góc lượng giác lớp 10

Dạng 1: Biểu thao diễn góc và cung lượng giác bên trên lối tròn

Phương pháp giải:

Để màn biểu diễn được những góc lượng giác bên trên lối tròn xoe lượng giác, tớ hay được sử dụng những thành phẩm bên dưới đây: 

• Góc \(\alpha\) và góc \(\alpha+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\) sẽ có được nằm trong điểm màn biểu diễn bên trên lối tròn xoe lượng giác.
• Số điểm bên trên lối tròn xoe lượng giác màn biểu diễn vì chưng số đo sở hữu dạng \(\alpha+\frac{k2\pi}{m}\) (với \(k\) là số nguyên vẹn và \(m\) là số nguyên vẹn dương) là \(m\). Từ ê nhằm màn biểu diễn những góc lượng giác ê tớ thứu tự mang lại \(k\) kể từ cho tới \((m-1)\) rồi màn biểu diễn những góc ê.

Ví dụ: Biểu thao diễn những góc (cung) lượng giác bên trên lối tròn xoe lượng giác sở hữu số đo sau: 

1. \(\frac{\pi}{4}\)
2. \(-\frac{11\pi}{2}\)
3. \(120^\circ\)
4. \(-765^\circ\)

Cách giải: 

1. Ta sở hữu \(\frac{\frac{\pi}{4}}{2\pi}=\frac{1}{8}\). Ta phân chia lối tròn xoe trở nên tám phần đều nhau.

Khi ê điểm \(M_1\) là vấn đề màn biểu diễn vì chưng góc sở hữu số đo \(\frac{\pi}{4}\).

    2. Ta sở hữu \(-\frac{13\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}+(-3).2\pi\) vì thế điểm màn biểu diễn vì chưng góc \(-\frac{11\pi}{2}\) trùng với góc \(-\frac{\pi}{2}\) và là vấn đề \(B’\).

Xem thêm: Giải Tin học 10 trang 144 Kết nối tri thức

    3. Ta sở hữu \(\frac{120}{360}=\frac{1}{3}\). Ta phân chia lối tròn xoe trở nên phụ thân phần đều nhau.

Khi ê điểm \(M_2\) là vấn đề màn biểu diễn vì chưng góc sở hữu số đo \(120^\circ\).

    4. Ta sở hữu \(-765^\circ=-45^\circ+(-2).360^\circ\) vì thế điểm màn biểu diễn vì chưng góc \(-765^\circ\) trùng với góc \(-45^\circ\).

\(\frac{45}{360}=\frac{1}{8}\). Ta phân chia lối tròn xoe thực hiện tám phần đều nhau (chú ý góc âm )

Khi ê điểm \(M_3\)(điểm ở chính giữa cung nhỏ \(\stackrel\frown{AB’}\)) là vấn đề màn biểu diễn vì chưng góc sở hữu số đo \(-765^\circ\).

Dạng 2: Xác định vị trị của biểu thức chứa chấp góc quánh biệt

Dạng toán này nhằm mục đích xác lập độ quý hiếm của biểu thức chứa chấp góc quan trọng đặc biệt và vệt của độ quý hiếm lượng giác của góc lượng giác

Phương pháp giải: 

• Sử dụng khái niệm độ quý hiếm lượng giác
• Sử dụng đặc thù và báo giá trị lượng giác quánh biệt
• Sử dụng những hệ thức lượng giác cơ phiên bản và độ quý hiếm lượng giác của góc tương quan quánh biệt
• Để xác lập vệt của những độ quý hiếm lượng giác của một cung (góc) tớ xác lập điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) nằm trong góc phần tư nào là và vận dụng bảng xét vệt những độ quý hiếm lượng giác.

Ví dụ: 

Bài 1: Tính những độ quý hiếm biểu thức lượng giác: 

1. \(A=\sin{\frac{7\pi}{6}}+\cos{9\pi}+\tan{\left (-\frac{5\pi}{4} \right )}+\cot{\frac{7\pi}{2}}\)
2. \(B=\frac{1}{\tan{368^\circ}}+\frac{2\sin{2550^\circ}.\cos\left ( -188^\circ \right )}{2\cos{638^\circ}+\cos{98^\circ}}\)

Cách giải: 

1. Ta có: \(A=\sin{\left ( \pi+\frac{\pi}{6} \right )}+\cos{\left ( \pi+4.2\pi \right )}-\tan\left ( \pi+\frac{\pi}{4} \right )+\cot\left ( \frac{\pi}{2}+3\pi \right )\\ \Rightarrow A=-\sin\frac{\pi}{6}+\cos\pi-\tan\frac{\pi}{4}+\cot\frac{\pi}{2}=-\frac{1}{2}-1-1+0=-\frac{5}{2}\)
2. Ta có: \(B=\frac{1}{\tan\left ( 8^\circ+360^\circ \right )}+\frac{2\sin\left(30^\circ+7.360^\circ \right).\cos\left(8^\circ+180^\circ \right)}{2\cos\left(-90^\circ+8^\circ+2.360^\circ\right)+\cos\left(90^\circ+8^\circ\right)}\\ B=\frac{1}{\tan8^\circ}+\frac{2\sin30^\circ.\left(-\cos8^\circ\right)}{2\cos\left(8^\circ-90^\circ\right)-\sin8^\circ}=\frac{1}{\tan8^\circ}+\frac{2.\frac{1}{2}.\left(-\cos8^\circ\right)}{2\cos\left(90^\circ-8^\circ\right)-\sin8^\circ}\\ = \frac{1}{\tan8^\circ}-\frac{\cos8^\circ}{2\sin8^\circ-\sin8^\circ}=\frac{1}{\tan8^\circ}-\frac{\cos8^\circ}{\sin8^\circ}=0\)

Bài 2: Cho \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\). Xác lăm le vệt của những độ quý hiếm lượng giác:

1. \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\)
2. \(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\)
3. \(\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\)

Cách giải: 

1. Ta sở hữu \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\Rightarrow\pi<\frac{3\pi}{2}-\alpha<\frac{\pi}{2}\Rightarrow0<\sin\left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )<1\)

Vậy \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) > 0\) 

     2. Ta sở hữu \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\Rightarrow\pi<\alpha+\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow-1<\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)<0\)

Vậy \(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) < 0\)

    3. Ta sở hữu \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\Rightarrow 2\pi<\frac{3\pi}{2}+\alpha<\frac{5\pi}{2}\)

Do ê \(\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\) nằm trong cung phần tư loại I.

Vậy \(\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)>0\)

Dạng 3: Chứng minh biểu thức ko dựa vào góc x, giản dị và đơn giản biểu thức

Đây là dạng minh chứng đẳng thức lượng giác, minh chứng biểu thức ko tùy theo góc x, giản dị và đơn giản biểu thức

Phương pháp giải: 

• Sử dụng những hệ thức lượng giác cơ phiên bản, những hằng đẳng thức lưu niệm và dùng đặc thù của độ quý hiếm lượng giác nhằm đổi thay đổi
• Khi minh chứng một đẳng thức tớ hoàn toàn có thể thay đổi vế này trở nên vế ê, thay đổi tương tự, thay đổi nhì vế nằm trong vì chưng một đại lượng không giống.
• Chứng minh biểu thức ko dựa vào góc \(x\) hoặc giản dị và đơn giản biểu thức tớ nỗ lực thực hiện xuất hiện nay nhân tử cộng đồng ở tử và khuôn mẫu nhằm rút gọn gàng hoặc thực hiện xuất hiện nay những hạng tử trái khoáy vệt nhằm rút gọn gàng lẫn nhau.

Ví dụ: Chứng minh những đẳng thức sau (giả sử những biểu thức sau đều phải có nghĩa): 

1. \(\cos^4x+2\sin^2x=1+sin^4x\)
2. \(\sqrt{\sin^4x+4\cos^2x}+\sqrt{\cos^4x+4\sin^2x}=3\tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\tan\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\)

Cách giải: 

1. Đẳng thức tương tự với \(\cos^4x=1-2\sin^2x+\left(\sin^2x\right)^2\Leftrightarrow\cos^4x=\left(1-\sin^2x\right)^2(\ast)\)

Mà \(\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow\cos^2x=1-\sin^2x\)

Do đó: \((\ast)\Leftrightarrow\cos^4x=\left(\cos^2x\right)^2\)(đúng) ĐPCM.

    2. \(VT=\sqrt{\sin^4x+4\left (1-\sin^2x \right )}+\sqrt{\cos^4x+4\left ( 1-\cos^2x \right )}\\ =\sqrt{\left (\sin^2x \right )^2-4\sin^2x+4}+\sqrt{\left (\cos^2x \right )^2-4\cos^2x+4}\\ =\sqrt{\left ( \sin^2x-2 \right )^2}+\sqrt{\left ( \cos^2x-2 \right )^2}=\left ( 2-\sin^2x \right )+\left ( 2-\cos^2x \right )\\ =4-\left ( \sin^2x+\cos^2x \right )=3\)

Mặt không giống vì như thế \(\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )+\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\tan\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )=\cot\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )\) nên

\(VP=3\tan\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )\cot\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=3\Rightarrow VT=VP\) ĐPCM.

Dạng 4: Tính những độ quý hiếm lượng giác sót lại lúc biết một độ quý hiếm lượng giác

Phương pháp giải: 

• Từ hệ thức lượng giác cơ phiên bản là côn trùng tương tác đằm thắm nhì độ quý hiếm lượng giác, lúc biết một độ quý hiếm lượng giác tớ tiếp tục suy đi ra giá tốt trị sót lại. Cần chú ý cho tới vệt của độ quý hiếm lượng giác nhằm lựa chọn mang lại tương thích.
• Sử dụng những hằng đẳng thức lưu niệm nhập đại số.

Ví dụ: Tính độ quý hiếm lượng giác sót lại của góc \(\alpha\) biết: 

1. \(\sin\alpha=\frac{1}{3};\hspace{0.3cm}90^\circ<\alpha<180^\circ\)
2. \(\cos\alpha=-\frac{2}{3};\hspace{0.3cm}\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\)
3. \(\tan\alpha=-2\sqrt2;\hspace{0.3cm}0<\alpha<\pi\)
4. \(\cot\alpha=-\sqrt2;\hspace{0.3cm}\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{2}\)

Cách giải: 

1. Vì \(90^\circ<\alpha<\180^\circ\) nên \(\cos\alpha<0\) mặt mũi không giống \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt2}{3}\\ \Rightarrow\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt2}{3}}=-\frac{\sqrt2}{4}\\ \Rightarrow\cot=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{-\frac{\sqrt2}{4}}=-2\sqrt2\)

    2. Vì \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\sin\alpha=\pm \sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\pm\frac{\sqrt5}{3}\\\)

Mà \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow\sin\alpha<0\Rightarrow\sin\alpha=-\frac{\sqrt5}{3}\) 

Ta sở hữu \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-\frac{\sqrt5}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt5}{2}\) và \(\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{\frac{\sqrt5}{2}}=\frac{2\sqrt5}{5}\)

     3. Vì \(\tan\alpha=-2\sqrt2\Rightarrow\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{-2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{4}\)

Ta sở hữu \(\tan^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}\Rightarrow \cos^2\alpha=\frac{1}{\tan^2\alpha+1}=\frac{1}{\left ( -2\sqrt2 \right )^2+1}=\frac{1}{9}=\pm\frac{1}{3}\)

Vì \(0<\alpha<\pi\Rightarrow\sin\alpha>0\) và \(\tan\alpha=-2\sqrt2<0\) nên \(\cos\alpha<0\)

Vì vậy \(\cos\alpha=-\frac{1}{3}\)

Ta có: \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\Rightarrow\sin\alpha=\tan\alpha.\cos\alpha=-2\sqrt2.\left ( -\frac{1}{3} \right )=\frac{2\sqrt2}{3}\).

     4. Vì \(\cot\alpha=-\sqrt2\) nên \(\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}=-\frac{\sqrt2}{2}\)

Ta sở hữu \(\cot^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac{1}{\cot^2\alpha+1}=\frac{1}{\left ( -\sqrt2 \right )^2+1}=\frac{1}{3}\\ \Rightarrow\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}\)

Vì \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow\cos\alpha<0\) và \(\cot\alpha=-\sqrt2<0\) nên \(\sin\alpha>0\)

Do ê \(\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\)

Ta sở hữu \(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\Rightarrow\cos\alpha=\cot\alpha.\sin\alpha=-\sqrt2.\frac{\sqrt3}{3}=-\frac{\sqrt6}{3}\).

Xem thêm: Cân bằng nội môi | SGK Sinh lớp 11 - loigiaihay.com

Như vậy, nội dung bài viết bên trên trên đây của DINHNGHIA.VN đang được khiến cho bạn thám thính hiểu một cơ hội cụ thể về chủ thể cung và góc lượng giác. Nếu sở hữu bất kể vướng mắc hoặc bổ sung cập nhật mang lại nội dung bài viết, hãy nhớ là nhằm lại phán xét bên dưới nhằm nằm trong công ty chúng tôi trao thay đổi thêm thắt về cung và góc lượng giác, chúc chúng ta luôn luôn tiếp thu kiến thức tốt!.

Xem thêm:

• Chuyên đề Hệ phương trình quý phái cơ phiên bản và nâng cao
• Các cách thức giải Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2
• Hàm số số 1 là gì? Công thức, Ví dụ và Bài tập dượt hàm số bậc nhất
• Hệ phương trình nhì ẩn là gì? Bài tập dượt và Cách giải hệ phương trình 2 ẩn
• Phương sai và phỏng nghiêng chuẩn chỉnh là gì? Hướng dẫn tính phương sai và phỏng nghiêng chuẩn
• Giá trị lượng giác của một cung, Các hệ trái khoáy và Bài tập dượt độ quý hiếm lượng giác của một cung